Question

已知（

x

+

1

2

4	1 x

）ⁿ展开式中，前三项系数成等差数列：
（1）求展开式的中间项．
（2）求展开式中的x的有理项．

Answer 1

分析：（1）设出（

x

+

1

2

4	1 x

）ⁿ展开式的通项为T_r+1，依题意，前三项系数成等差数列，可求得n=8，从而可求展开式的中间项；
（2）由）T_r+1=(

1

2

)r•

C

r 8

•x

16-3r

4

⇒r=0，4，8时，T_r+1为有理项，利用通项公式即可求得这三项．

解答：解：（1）设（

x

+

1

2

4	1 x

）ⁿ展开式的通项为T_r+1，
则T_r+1=

C

r n

•(

1

2

)r•x

n-r

2

•x-

r

4

=(

1

2

)r•

C

r n

•x

2n-3r

4

，
∵(

1

2

)0•

C

0 n

，(

1

2

)1•

C

1 n

，(

1

2

)2•

C

2 n

成等差数列，
∴

C

1 n

=1+

C 2 n

4

，即

n(n-1)

8

-n+1=0，
解得n=8或n=1（舍去），
∴n=8．
∴展开式的中间项为第5项，T₅=(

1

2

)4•

C

4 8

•x=

70

16

x=

35

8

x．
（2）∵T_r+1=(

1

2

)r•

C

r 8

•x

16-3r

4

，
∴当r=0，4，8时，T_r+1为有理项，
∴T₁=x⁴，
T₅=

35

8

x，
T₉=(

1

2

)8•

C

8 8

•x^-2=

1

256

x^-2．

点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，考查等差数列的性质与运算能力，属于中档题．