Question

已知（

x

+

1

2

4	1 x

）ⁿ的展开式中，前三项系数成等差数列．
（1）求n；
（2）求第三项的二项式系数及项的系数；
（3）求含x项的系数．

Answer 1

分析：（1）根据二项式定理求出（

x

+

1

2

4	1 x

）ⁿ的展开式中，前三项系数，根据等差数列的性质列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值；
（2）把（1）求出的n的值代入展开式的通项公式中，化简后将r=2代入即可求出第3项的二次项的系数及项的系数；
（3）令（2）中化简后的展开项的通项公式中x的指数等于1，即可求出此时r的值，代入系数公式中即可求出含x项的系数．

解答：解：（1）前三项系数为1，

1

2

C_n¹，

1

4

C_n²成等差数列，
∴2•

1

2

C_n¹=1+

1

4

C_n²，即n²-9n+8=0，
∴n=8或n=1（舍）；
（2）由n=8知：
其通项公式T_r+1=C₈^r•（

x

）^8-r•（

1

2

4	1 x

）^r=（

1

2

）^r•C₈^r•x4-

3

4

r（r=0，1，…，8），
∴第三项的二项式系数为C₈²=28，
第三项系数为（

1

2

）²•C₈²=7；
（3）令4-

3

4

r=1，得r=4，
∴含x项的系数为（

1

2

）⁴•C₈⁴=

35

8

．

点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用二次项定理化简求值，是一道综合题．