题目内容

设常数a＞0，(ax2+
1
x
) 4展开式中x3的系数为
3
2
，则
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=（　　）
A、
1
4
B、
1
2
C、2
D、1
分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，求出展开式的x3的系数，列出方程求出a，利用等比数列的前n项和公式求出值，再求极限值．
解答：解：(ax2+
1
x
)4展开式的通项为Tr+1=a4-r
C
r
4
x8-
5r
2

令8-
5
2
r=3得r=2
展开式中x3的系数为a2
C
2
4
=
3
2

解得a=
1
2

∴
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=
lim
n→∞
1
2
(1-(
1
2
)n)
1-
1
2
 =1
故选D
点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查等比数列的前n项和公式．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+
2b
x
(x＞0)在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b的值．
（2）设常数c∈[1，4]，求函数f(x)=x+
c
x
(1≤x≤2)的最大值和最小值；
（3）当n是正整数时，研究函数g(x)=xn+
c
xn
(c＞0)的单调性，并说明理由．
设常数a＞0，(ax-
1
x
)5展开式中x3的系数为-
5
81
，则a=
 
，
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=
 
．
已知函数y=x+
a
x
旦（a＞0）有如下的性质：在区间（0，
a
]上单调递减，在[
a
，+∞）上单调递增．
（1）如果函数f（x）=x+
2b
x
在（0，4]上单调递减，在[4，+∞）上单调递增，求常数b的值．
（2）设常数a∈[l，4]，求函数y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值．
已知函数f（x）=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+
2b
x
（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）是增函数，求b的值；
（2）证明：函数f（x）=x+
a
x
（常数a＞0）在（0，
a
]上是减函数；
（3）设常数c∈（1，9），求函数f（x）=x+
c
x
在x∈[1，3]上的最小值和最大值．
设常数a＞0，(ax-
1
x
)5展开式中x3的系数为-
5
81
，则a=______，
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=______．

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