题目内容
已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（| an |
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若列数{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bn•bn+2＜bn+12．
分析：（Ⅰ）将点代入到函数解析式中即可；
（Ⅱ）比较代数式大小时，可以用作差的方法．
（Ⅱ）比较代数式大小时，可以用作差的方法．
解答：解：解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．
故an=1+（n-1）×1=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n．
bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=
=2n-1
∵bn•bn+2-bn+12=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2
=（22n+2-2n-2n+2+1）-（22n+2-2•2n+1+1）
=-2n＜0
∴bn•bn+2＜bn+12
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）∵b2=1
bn•bn+2-bn+12=（bn+1-2n）（bn+1+2n+1）-bn+12
=2n+1•bn+1-2n•bn+1-2n•2n+1
=2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n＜0
∴bn•bn+2＜bn+12
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．
故an=1+（n-1）×1=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n．
bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=
| 1-2n |
| 1-2 |
∵bn•bn+2-bn+12=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2
=（22n+2-2n-2n+2+1）-（22n+2-2•2n+1+1）
=-2n＜0
∴bn•bn+2＜bn+12
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）∵b2=1
bn•bn+2-bn+12=（bn+1-2n）（bn+1+2n+1）-bn+12
=2n+1•bn+1-2n•bn+1-2n•2n+1
=2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n＜0
∴bn•bn+2＜bn+12
点评：高考考点：本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．
易错提醒：第二问中的比较大小直接做商的话还要说明bn的正负，而往往很多学生不注意．
备考提示：对于递推数列要学生掌握常见求法，至少线性的要懂得处理．
易错提醒：第二问中的比较大小直接做商的话还要说明bn的正负，而往往很多学生不注意．
备考提示：对于递推数列要学生掌握常见求法，至少线性的要懂得处理．
练习册系列答案
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，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1，x2，…xn都是正数，则A≤B；
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的最小值为3；
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