Question

设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A=sin(

π

3

+B)sin(

π

3

-B)+sin2B．
（1）求角A的值；
（2）若

AB

•

AC

=12，a=2

7

，求b2+c2(其中b＜c)．

Answer 1

分析：（1）通过sin2A=sin(

π

3

+B)sin(

π

3

-B)+sin2B利用两角和与差的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式，求出A的正弦函数值，然后求出A的值．
（2）通过向量的数量积求出cbcosA=12，利用余弦定理求出b²+c²的值．

解答：解：（1）因为sin2A=sin(

π

3

+B)sin(

π

3

-B)+sin2B
=(

3

2

cosB+

1

2

sinB)(

3

2

cosB-

1

2

sinB)+sin²B
=

3

4

cos2B-

1

4

sin2B+sin 2B
=

3

4

．
所以sinA=±

3

2

，又A为锐角，所以A=

π

3

．
（2）由

AB

•

AC

=12，
可得cbcosA=12．
由（1）可知A=

π

3

，
所以bc=24．
由余弦定理知a²=b²+c²-2cbcosA，
把a=2

7

，cbcosA=12，代入可得
b²+c²=52．

点评：本题考查三角形的求解，两角和与差的正弦函数的应用，余弦定理的应用，注意整体思想的意识的训练，考查计算能力．