Question

（本小题满分14分）
已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程；
（3）求三角形面积的最大值．

Answer 1

解：（1）因为，所以，所以．…………………1分
由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以．
因为，所以，所以．……………3分
故双曲线离心率的取值范围为．…………………………………………………………4分
（2）方法1：因为，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．………5分
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，……………………………………………6分
所以联立方程组………………………………………………7分
消去，，即得直线的方程为．………………………………………………8分
方法2：设，已知点，
则，．
因为，所以，即．…………………………………………5分
整理得．
因为，所以．……………………………………………………………6分
因为，，根据平面几何知识可知，．
因为，所以．………………………………………………………………………7分
所以直线方程为．
即．
所以直线的方程为．………………………………………………………………8分
方法3：设，已知点，
则，．
因为，所以，即．…………………………………………5分
整理得．
因为，所以．……6分
这说明点在直线上．…………7分
同理点也在直线上．
所以就是直线的方程．……8分
（3）由（2）知，直线解析