Question

（理）已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；（2）设数列{

1

a 2 n

}的前n项和为T_n，证明T_n＜

7

4

．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：a₃=a₁+2d，a₉=a₁+8d．结合a₁、a₃、a₉成等比数列，得到d．进而求出数列{a_n}的通项公式．
（2）根据（1）中得出的数列{a_n}的通项公式，从而求得数列{

1

a 2 n

}的通项公式，再利用拆项法求出其前n项和即可证得结论．

解答：解：（1）由题设知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列得

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，…（4分）
解得d=1，d=0（舍去），…（4分）
故{a_n}的通项a_n=1+（n-1）×1=n．                         …（5分）
（2）（理）∵n≥2时，

1

a 2 n

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

(n-1)

-

1

n

，…（7分）
∴Tn=

1

12

+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…

1

n2

＜1+

1

4

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…(

1

n-1

-

1

n

)=

7

4

-

1

n

．
∵n∈N^*，∴Tn＜

7

4

．…（10分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．另外裂项求和是常考数列求和的方法，并通过放缩法证明不等式．此题非常好，很典型．