Question

（理）已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T_n，证明T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得：a₃=a₁+2d，a₉=a₁+8d．结合a₁、a₃、a₉成等比数列，得到d．进而求出数列{a_n}的通项公式．
（2）根据（1）中得出的数列{a_n}的通项公式，从而求得数列{}的通项公式，再利用拆项法求出其前n项和即可证得结论．
解答：解：（1）由题设知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列得，…（4分）
解得d=1，d=0（舍去），…（4分）
故{a_n}的通项a_n=1+（n-1）×1=n．                         …（5分）
（2）（理）∵n≥2时，，…（7分）
∴．
∵n∈N^*，∴．…（10分）
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．另外裂项求和是常考数列求和的方法，并通过放缩法证明不等式．此题非常好，很典型．