题目内容
在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|=
|DM|，点P在圆上运动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过定点C（-1，0）的直线与点M的轨迹交于A、B两点，在x轴上是否存在点N，使
•
为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
| 2 |
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过定点C（-1，0）的直线与点M的轨迹交于A、B两点，在x轴上是否存在点N，使
| NA |
| NB |
（I）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）
∵|DP|=
|DM|，∴|y1|=
|y|
∵P（x，y1）在圆x2+y2=4上，∴x2+y12=4
∴x2+2y2=4
∴点M的轨迹C的方程为
+
=1(x≠±2)；
（Ⅱ）假设存在N（n，0）
AB斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程：y=k（x+1），
代入椭圆方程得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2-4=0，∴x1+x2=-
，x1x2=
∵
=(x1-n，y1)，
=(x2-n，y2)，
∴
•
=（x1-n，y1）•（x2-n，y2）=（1+k2）x1x2+(k2-n)(x1+x2)+k2+n2=
(2n2+4n-1)-
∵
•
是与k无关的常数，
∴2n+
=0
∴n=-
，即N（-
，0），此时
•
=-
当直线AB与x垂直时，n=-
时
•
=-
综上所述，在x轴上存在定点N（-
，0），使
•
为常数．
∵|DP|=
| 2 |
| 2 |
∵P（x，y1）在圆x2+y2=4上，∴x2+y12=4
∴x2+2y2=4
∴点M的轨迹C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
（Ⅱ）假设存在N（n，0）
AB斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程：y=k（x+1），
代入椭圆方程得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2-4=0，∴x1+x2=-
| 4k2 |
| 1+2k2 |
| 2k2-4 |
| 1+2k2 |
∵
| NA |
| NB |
∴
| NA |
| NB |
| 1 |
| 2 |
2n+
| ||
| 1+2k2 |
∵
| NA |
| NB |
∴2n+
| 7 |
| 2 |
∴n=-
| 7 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
| NA |
| NB |
| 15 |
| 16 |
当直线AB与x垂直时，n=-
| 7 |
| 4 |
| NA |
| NB |
| 15 |
| 16 |
综上所述，在x轴上存在定点N（-
| 7 |
| 4 |
| NA |
| NB |
练习册系列答案
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案
相关题目
在圆x2+y2=4上，与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标是（ ）
A、（
| ||||
B、（
| ||||
C、（-
| ||||
D、(-
|
如图所示，点N在圆x2+y2=4上运动，DN⊥x轴，点M在DN的延长线上，且