题目内容
下列四个命题:①圆(x+2)2+(y+1)2=4与直线x-2y=0相交,所得弦长为2;
②直线y=kx与圆(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=1恒有公共点;
③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为108π;
④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上,则该球的体积为.
其中,正确命题的序号为 .写出所有正确命的序号)
【答案】分析:①②是直线和圆的位置关系及弦长问题,一般转化为圆心到直线的距离问题,但本题中很容易看出①中直线x-2y=0过圆心,②中直线和圆均过原点;③④为与球有关的组合体问题,结合球的截面性质,球心与截面圆心的连线垂直于截面圆处理.
解答:解:①圆心(-2,-1)在直线x-2y=0上,即直线x-2y=0过圆心,所得弦长为直径4,结论错误;
②∵直线y=kx与圆(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=1横过原点,故恒有公共点正确;
③球直径为正方体的对角线长即,故求半径R=,球表面积为s=4πR2=27π,结论错误;
由上图可知,AH=,,∴R=,
∵,∴,∴,结论正确.
故答案为:②④
点评:本题考查直线和圆的位置关系及与球有关的组合体问题.直线和圆的位置关系一般转化为圆心到直线的距离问题,与球有关的组合体问题要画好图形,结合球的截面性质.
解答:解:①圆心(-2,-1)在直线x-2y=0上,即直线x-2y=0过圆心,所得弦长为直径4,结论错误;
②∵直线y=kx与圆(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=1横过原点,故恒有公共点正确;
③球直径为正方体的对角线长即,故求半径R=,球表面积为s=4πR2=27π,结论错误;
由上图可知,AH=,,∴R=,
∵,∴,∴,结论正确.
故答案为:②④
点评:本题考查直线和圆的位置关系及与球有关的组合体问题.直线和圆的位置关系一般转化为圆心到直线的距离问题,与球有关的组合体问题要画好图形,结合球的截面性质.
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