题目内容

(文)设函数
(1)当a=2,解不等式f(x)>9
(2)若连续掷两次骰子(骰子六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)得到的点数分别作为a和b,求f(x)>b2恒成立的概率.
【答案】分析:(1)由题意可得:f(x)=,即可得到,再利用一元二次不等式的解法得到答案.
(2)利用基本不等式可得:,所以由f(x)>b2恒成立可得16a>b4.首先计算出基本事件总数,再利用列举的方法得到此事件包含的基本事件,进而根据等可能事件的概率公式得到答案.
解答:解:(1)由题意可得:a=2,
所以可得f(x)=
所以(3分)
解得:(6分),
所以不等式f(x)>9的解集为:
(2)根据题意并且结合基本不等式可得:,所以(8分),
因为f(x)>b2恒成立,
所以f(x)min>b2即可,即16a>b4(10分).
由题意可得:基本事件总数为6×6=36,
当a=1时,b=1;
当a=2,3,4,5时,b=1,2,;
当a=6时,b=1,2,3;
目标事件包含的基本事件的个数为1+8+3=12.
所以f(x)>b2恒成立的概率,即16a>b4的概率为.(14分)
点评:解决此类问题的关键是熟练掌握基本不等式、一元二次不等式的解法,以及恒成立问题(即求函数的最值),此题考查了等可能事件的概率,解决此种问题一般利用列举法或者借助于排列与组合,此题属于中档题,高考命题的热点之一.
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