题目内容

直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点.

（Ⅰ）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长；

（Ⅱ）当点在上且不是的顶点时，证明：四边形不可能为菱形.

 

【答案】

 利用椭圆的对称性，结合图形完成第(I)小题.设出直线方程，把直线方程和椭圆方程联立，设而不求，结合菱形的特点进行判断.

【解析】 (I) 椭圆W：的右顶点，因为四边形OABC为菱形，所以和互相垂直平分.

所以可设，代入椭圆方程得，解得.

所以菱形OABC的面积为.

(II)假设四边形OABC为菱形.

因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y=kx+m,k≠0,m≠0..

由消去y并整理得.

设,则，，

所以AC的中点.

因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.

因为，所以AC和OB不垂直.

所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.

所以当B不是W的顶点，四边形OABC不可能是菱形.

【考点定位】本题考查了椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系.通过整体代换，设而不求，考查了数据处理能力和整体思想的应用.

 

练习册系列答案
相关题目
以知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1（-c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点E(
a2
c
，0)的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求
n
m
的值．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（2，0），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线l1与椭圆相交于A、B两点，过AB的中点N作直线l2与y轴交于点P，D为N在直线l上的射影，若|ND|、
1
2
|AB|、|MP|成等比数列，求直线l2的斜率的取值范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），过点E（
a2
c
，0）的直线与椭圆相交于点A，B两点，且F1∥F2B，|F1A|=2|F2B|
（Ⅰ）求椭圆的离心率
（Ⅱ）直线AB的斜率．
（2011•上海模拟）在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为
10
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上存在两个不同的点关于直线l：y=9x+m对称，求实数m的取值范围．
（3）若P为椭圆C在第一象限的动点，过点P作圆x2+y2=5的两条切线PA、PB，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值．

（13分）设直线与椭圆相交于、两个不同的点，与轴相交于点。

（1）证明：；

（2）若是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程。

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网