题目内容
(1)已知|a|<1,|b|<1,求证:|1-ab |
a-b |
(2)求实数λ的取值范围,使不等式|
1-abλ |
aλ-b |
(3)已知|a|<1,若|
a+b |
1+ab |
分析:(1)用综合法,首先化简|1-ab|2-|a-b|2可得,|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1);结合题意中|a|<1,|b|<1,可得a、b的范围,进而可得|1-ab|2-|a-b|2>0,由不等式的性质,可得答案;
(2)根据题意,将|
|>1转化为分式,可得
|>1?(a2λ2-1)(b2-1)>0,由于|b|<1,则b2-1>0,即只需a2λ2-1>0即可,分a=0与a≠0两种情况讨论,可得答案;
(3)根据题意,可得|
|<1?(a2-1)(b2-1)<0,结合题意|a|<1,可得a2<1,即只需1-b2>0,解可得答案.
(2)根据题意,将|
1-abλ |
aλ-b |
1-abλ |
aλ-b |
(3)根据题意,可得|
a+b |
1+ab |
解答:解:(1)证明:|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1).
∵|a|<1,|b|<1,
∴a2-1<0,b2-1<0.
∴|1-ab|2-|a-b|2>0.
∴|1-ab|>|a-b|,
=
>1.
(2)解:∵|
|>1?|1-abλ|2-|aλ-b|2=(a2λ2-1)(b2-1)>0.
∵b2<1,
∴a2λ2-1<0对于任意满足|a|<1的a恒成立.
当a=0时,a2λ2-1<0成立;
当a≠0时,要使λ2<
对于任意满足|a|<1的a恒成立,而
>1,
∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1.
(3)|
|<1?(
)2<1?(a+b)2<(1+ab)2?a2+b2-1-a2b2<0?(a2-1)(b2-1)<0.
∵|a|<1,
∴a2<1.
∴1-b2>0,
即-1<b<1.
∵|a|<1,|b|<1,
∴a2-1<0,b2-1<0.
∴|1-ab|2-|a-b|2>0.
∴|1-ab|>|a-b|,
|1-ab| |
|a-b| |
|1-a•b| |
|a-b| |
(2)解:∵|
1-abλ |
aλ-b |
∵b2<1,
∴a2λ2-1<0对于任意满足|a|<1的a恒成立.
当a=0时,a2λ2-1<0成立;
当a≠0时,要使λ2<
1 |
a2 |
1 |
a2 |
∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1.
(3)|
a+b |
1+ab |
a+b |
1+ab |
∵|a|<1,
∴a2<1.
∴1-b2>0,
即-1<b<1.
点评:本题考查不等式性质的基本运用,注意结合题意,进行分式、整式的转化,一般利要积的符号法则进行分析.
练习册系列答案
相关题目