Question

（2012•湖北模拟）已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线

x2

a2

-y2=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则正实数a的值为

1

3

．

Answer 1

分析：先利用抛物线定义，计算抛物线方程和m的值，在求出双曲线的左焦点坐标和准线方程，最后利用两直线平行的充要条件列方程即可解得a的值

解答：解：利用抛物线的定义，点M（1，m）到焦点的距离等于到准线x=-

p

2

的距离，即1+

p

2

=5，解得p=8
∴抛物线的标准方程为y²=16x，令x=1，得m=4，即M（1，4）
∵双曲线

x2

a2

-y2=1，的左顶点为A（-a，0），渐近线方程为y=±

1

a

x
依题意，AM的斜率为k=

4

1+a

＞0，
∴

4

1+a

=

1

a

解得正实数a的值为

1

3

故答案为

1

3

点评：本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程和双曲线的标准方程，双曲线的几何性质等基础知识，属基础题