Question

已知函数g（x）=x²-4x+5，函数f（x）=x³+ax²+bx+c在（-∞，-1），（2，+∞）上单调递增，在（-1，2）上单调递减，当且仅当x＞4时，f（x）＞g（x）
（1）求函数f（x）的解析式
（2）若y=m与函数g（x）的图象有3个公共点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=x³+ax²+bx+c在（-∞，-1），（2，+∞）上单调递增，在（-1，2）上单调递减，知函数f（x）在点x=-1或2处取得极值，可得f′（1）=0，f′（2）=0求导，即可求字母的值；
（2）由（1）知f（x）=x³-

3

2

x²-6x-11．作出其图象，如图，数形结合，若y=m与函数g（x）的图象有3个公共点，求m的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）在（-∞，-1），（2，+∞）上单调递增，在（-1，2）上单调递减，
∴f′（-1）=0，f′（2）=0，
即f′（-1）=3-2ax+b=0，f′（2）=12+4ax+b=0，
∴a=-

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2

，b=-6，；
又f（4）=g（4），⇒c=-11．
∴f（x）=x³-

3

2

x²-6x-11．
（2）由（1）知f（x）=x³-

3

2

x²-6x-11．
作出其图象，如图．
∵f（x）的图象与y=m的图象只有三个交点，
数形结合，m的取值范围：（-

15

2

，-21）．

点评：考查应用导数研究函数的极值和单调性问题，有关函数图象交点个数问题，转化为图象交点的个数问题，体现了转化的思想方法，属中档题．