题目内容
经销某品牌的汽车，顾客通常采用分期付款的方式购车．根据以往资料统计，付款期数X的分布列为：| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 0.4 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
（Ⅰ）求购买该品牌汽车的3位顾客中，至少有1位采用1期付款的概率；
（Ⅱ）记Y为经销一辆该品牌汽车的利润，求Y的分布列及期望E（Y）．
【答案】分析：（Ⅰ）记“购买该品牌汽车的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”为事件A．由题意知购买该汽车的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是，购买该汽车的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．
（II）根据顾客采用的付款期数X的分布列对应于Y的可能取值为104元，1.5×104元，2×104元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．
解答：解：（Ⅰ）记“购买该品牌汽车的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”为事件A．
则
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．…（2分）
故
，…（4分）
所以
． …（6分）
（Ⅱ）Y的可能取值为104元，1.5×104元，2×104元． …（7分）
P（Y=104）=P（X=1）=0.4，
P（Y=1.5×104）=P（X=2）+P（X=3）=0.2+0.2=0.4，
P（Y=2×104）=P（X=4）+P（X=5）=0.1+0.1=0.2． …（10分）
Y的分布列为：
…（11分）
∴E（Y）=104×0.4+1.5×104×0.4+2×104×0.2=1.4×104（元）． …（13分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．
（II）根据顾客采用的付款期数X的分布列对应于Y的可能取值为104元，1.5×104元，2×104元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．
解答：解：（Ⅰ）记“购买该品牌汽车的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”为事件A．
则
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．…（2分）故
，…（4分）所以
． …（6分）（Ⅱ）Y的可能取值为104元，1.5×104元，2×104元． …（7分）
P（Y=104）=P（X=1）=0.4，
P（Y=1.5×104）=P（X=2）+P（X=3）=0.2+0.2=0.4，
P（Y=2×104）=P（X=4）+P（X=5）=0.1+0.1=0.2． …（10分）
Y的分布列为：
| Y | 104 | 1.5×104 | 2×104 |
| P | F1 | 0.4 | 0.2 |
∴E（Y）=104×0.4+1.5×104×0.4+2×104×0.2=1.4×104（元）． …（13分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．
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某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润．
（1）求表中的a，b值；
（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；
（3）求η的分布列及数学期望Eη．
| 付款方式 | 分1期 | 分2期 | 分3期 | 分4期 | 分5期 |
| 频数 | 40 | 20 | a | 10 | b |
（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；
（3）求η的分布列及数学期望Eη．