题目内容

(2012•海口模拟)四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如下,其中正视图是等边三角形,俯视图是直角梯形.
(I)若F为AC的中点,当点M在棱AD上移动时,是否总有BF丄CM,请说明理由.
(II)求三棱锥的高.
分析:(Ⅰ)总有BF丄CM.取BC的中点O,连接AO,由AO⊥平面BCDE,可得AO⊥CD,可证CD⊥面ABC,有CD⊥BF,根据F是AC的中点,可得BF⊥AC,从而可得BF⊥面ACD,进而可得BF丄CM;
(Ⅱ)先计算VA-CDE=
1
3
S
△CDE
×AO=
1
3
×2×
3
=
2
3
3
,设三棱锥C-ADE的高为h,再计算VC-ADE=
6
3
h
,利用VA-CDEV=C-ADE,即可求得三棱锥C-ADE的高.
解答:解:(Ⅰ)总有BF丄CM.理由如下:
取BC的中点O,连接AO,
由俯视图可知,AO⊥平面BCDE,CD?平面BCDE,
所以AO⊥CD                …(2分)
又CD⊥BC,AO∩BC=O,所以CD⊥面ABC,
因为BF?面ABC,
故CD⊥BF.
因为F是AC的中点,所以BF⊥AC.…(4分)
又AC∩CD=D
故BF⊥面ACD,
因为CM?面ACD,所以BF丄CM.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,AO⊥平面BCDE,S△CDE=
1
2
×CD×BC=2

又在正△ABC中,AO=
3

所VA-CDE=
1
3
S
△CDE
×AO=
1
3
×2×
3
=
2
3
3
,…(8分)
在直角△ABE中,AE=
5

在直角梯形BCDE中,DE=
5

在直角△ACD中,AD=2
2

在△ADE中,S△ADE=
1
2
AD×
DE2-(
1
2
AD)2
=
1
2
×2
2
×
3
=
6
,…(10分)
设三棱锥C-ADE的高为h,则VC-ADE=
6
3
h

又VA-CDEV=C-ADE
可得
6
3
h=
2
3
3
,解得h=
2

所以,三棱锥C-ADE的高为
2
.…(12分)
点评:本题考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,掌握线面垂直的判定,正确计算体积是关键.
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