题目内容

(I)若F为AC的中点,当点M在棱AD上移动时,是否总有BF丄CM,请说明理由.
(II)求三棱锥的高.
分析:(Ⅰ)总有BF丄CM.取BC的中点O,连接AO,由AO⊥平面BCDE,可得AO⊥CD,可证CD⊥面ABC,有CD⊥BF,根据F是AC的中点,可得BF⊥AC,从而可得BF⊥面ACD,进而可得BF丄CM;
(Ⅱ)先计算VA-CDE=
S△CDE×AO=
×2×
=
,设三棱锥C-ADE的高为h,再计算VC-ADE=
h,利用VA-CDEV=C-ADE,即可求得三棱锥C-ADE的高.
(Ⅱ)先计算VA-CDE=
1 |
3 |
1 |
3 |
3 |
2
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3 |
| ||
3 |
解答:
解:(Ⅰ)总有BF丄CM.理由如下:
取BC的中点O,连接AO,
由俯视图可知,AO⊥平面BCDE,CD?平面BCDE,
所以AO⊥CD …(2分)
又CD⊥BC,AO∩BC=O,所以CD⊥面ABC,
因为BF?面ABC,
故CD⊥BF.
因为F是AC的中点,所以BF⊥AC.…(4分)
又AC∩CD=D
故BF⊥面ACD,
因为CM?面ACD,所以BF丄CM.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,AO⊥平面BCDE,S△CDE=
×CD×BC=2,
又在正△ABC中,AO=
,
所VA-CDE=
S△CDE×AO=
×2×
=
,…(8分)
在直角△ABE中,AE=
,
在直角梯形BCDE中,DE=
,
在直角△ACD中,AD=2
,
在△ADE中,S△ADE=
AD×
=
×2
×
=
,…(10分)
设三棱锥C-ADE的高为h,则VC-ADE=
h,
又VA-CDEV=C-ADE,
可得
h=
,解得h=
.
所以,三棱锥C-ADE的高为
.…(12分)

取BC的中点O,连接AO,
由俯视图可知,AO⊥平面BCDE,CD?平面BCDE,
所以AO⊥CD …(2分)
又CD⊥BC,AO∩BC=O,所以CD⊥面ABC,
因为BF?面ABC,
故CD⊥BF.
因为F是AC的中点,所以BF⊥AC.…(4分)
又AC∩CD=D
故BF⊥面ACD,
因为CM?面ACD,所以BF丄CM.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,AO⊥平面BCDE,S△CDE=
1 |
2 |
又在正△ABC中,AO=
3 |
所VA-CDE=
1 |
3 |
1 |
3 |
3 |
2
| ||
3 |
在直角△ABE中,AE=
5 |
在直角梯形BCDE中,DE=
5 |
在直角△ACD中,AD=2
2 |
在△ADE中,S△ADE=
1 |
2 |
DE2-(
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1 |
2 |
2 |
3 |
6 |
设三棱锥C-ADE的高为h,则VC-ADE=
| ||
3 |
又VA-CDEV=C-ADE,
可得
| ||
3 |
2
| ||
3 |
2 |
所以,三棱锥C-ADE的高为
2 |
点评:本题考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,掌握线面垂直的判定,正确计算体积是关键.

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