Question

A．若不等式|x-1|+|x-m|＜2m的解集为∅，则m的取值范围为

（-∞，

1

3

]

．
B．如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为

7

．
C．直线3x-4y-1=0被曲线

x=2cosθ y=1+2sinθ

（θ为参数）所截得的弦长为

2

3

．

Answer 1

分析：A，由绝对值的几何意义可得f（x）=|x-1|+|x-m|的最小值为|m-1|，依题意，对m分m≤0与m＞0讨论解决即可；
B，由题意可知，在△POD中，OD=1，OP=2，∠POD=120°，利用余弦定理即可求得PD的长；
C，将曲线（圆）的参数方程

x=2cosθ y=1+2sinθ

（θ为参数）化为标准方程，利用点到直线的距离公式可求得圆心（0，1）到直线3x-4y-1=0的距离为1，利用弦长之半，弦心距与圆的半径构成的直角三角形可求得截得的弦长．

解答：解：A，令f（x）=|x-1|+|x-m|，则f（x）_min=|m-1|，
∵|x-1|+|x-m|＜2m的解集为∅，
∴当m≤0时，满足题意；
当m＞0时，|m-1|≥2m＞0，
解得0＜m≤

1

3

；
综上所述，m≤

1

3

．
∴m的取值范围为（-∞，

1

3

]；
B，依题意可知，OA⊥PA，在Rt△OAP中，OA=1，OP=2，
∴∠AOP=60°，
∴在△DOP中，∠DOP=120°，又OD=1，OP=2，
∴由余弦定理得PD²=OD²+OP²-2OD•OPcos∠DOP
=1+4-2×1×2×（-

1

2

）
=7，
∴PD=

7

；
C，由圆的参数方程消掉参数可得其标准方程为：x²+（y-1）²=4，
∴该曲线是以C（0，1）为圆心，半径R=2的圆；设圆心C到直线3x-4y-1=0的距离为d，该直线与圆C相交的弦长为l，
则d=

|3×0-4×1-1|

5

=1，
由弦心距，弦长之半，与该圆的半径组成直角三角形可知，

l

2

=

R2-d2

=

3

，
∴l=2

3

．
故答案为：（-∞，

1

3

]；

7

；2

3

．．

点评：本题A考查绝对值不等式，B考查与圆有关的比例线段，C考查圆的参数方程，考查分析转化与运算能力，属于基础题．