Question

设f₁（x）=cosx，定义f_n+1（x）为f_n（x）的导数，即f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N^*，若△ABC的内角A满足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=0，则sinA的值是________．

Answer 1

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分析：由已知，f₁（x）=cosx，f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，f₄（x）=f₃′（x）=sinx，f₅（x）=f₄′（x）=cosx，发现f_n（x）以4为周期，结果循环出现，利用此规律将2013转化为n=1的情况求解．
解答：∵f₁（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=cosx，
…
从第五项开始，f_n（x）的解析式重复出现，每4次一循环．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0
∴f₂₀₁₃（x）=f_4×503+1（x）=f₁（x）=cosx，
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=0
∴cosA=0
∵A为三角形的内角
∴sinA=1
故答案为：1．
点评：考查学生会进行导数的运算，会根据条件归纳总结得到结论，并利用得到的结论解决问题．