Question

如图,(1)若P是边长为a的正三角形ABC内任意一点,试证明点P到各边的距离之和为定值.

 (2)若P是棱长均为a的正四面体S—ABC内任意一点,试证明点P到各侧面的距离之和为定值.

Answer 1

思路解析：(1)连结PA、PB、PC,将正三角形分割成三个小三角形,利用三角形面积不变即可求得点P到各边的距离之和为定值.

(2)运用“类比”法进行求解.平面→空间：正三角形→正四面体；面积→体积；分割→分割；内分小三角形→内分小四面体；小三角形一边长→四面体底面积.于是可将正四面体S—ABC分割成四个以点P为顶点,四个面为底面的小三棱锥.利用正四面体的体积不变求得点P到各侧面的距离之和为定值.

(1)证明：设P到各边的距离分别为m、l、n,则有△ABC的面积等于三个小三角形△APC、△APB、△BPC的面积的和,列式即为

S_△ABC=S_△APC+S_△APB+S_△BPC=al+am+an=a(l+m+n)=a²,

得到l+m+n=a.

(2)解：设P到四面体各面的距离分别为m、l、n、h,则四面体SABC的体积等于四个小四面体P—ABC、P—SBC、P—SAC、P—SAB的体积之和,列式计算即为

V_S—ABC=V_P—ABC+V_P—SBC+V_P—SAC+V_P—SAB=·a²·(l+m+n+h)=a³.

得到l+m+n+h=a.

方法归纳  用等积法求点到平面的距离的步骤：

(1)设距离为h，把h看成某三棱锥的高；

(2)把三棱锥的另一面看成底面，求出体积；

(3)由体积相等求出相应的距离.