Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）．
（Ⅰ）（i）若b=﹣2，且f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（ii）若b=﹣1，c=1，当x∈[0，1]时，|f（x）|的最大值为1，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有两个小于1的不等正根，求a的最小正整数值．

Answer 1

（Ⅰ）（i）[1，+∞）；（ii）（0，1]；（Ⅱ）5

解析试题分析：（Ⅰ）（i）若b=﹣2，则f（x）=ax²﹣2x+c（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线．若f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数,则≤1,解得a≥1,即实数a的取值范围为[1，+∞）;（ii）若b=﹣1，c=1，则f（x）=ax²﹣x+1（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线,若当x∈[0，1]时，|f（x）|的最大值为1，则或解得0＜a＜，或≤a≤1,所以实数a的取值范围为（0，1]；（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有两个小于1的不等正根，则
解得a＞4，故a的最小正整数值为5.
试题解析：（Ⅰ）（i）若b=﹣2，
则f（x）=ax²﹣2x+c（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线．
若f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，则≤1，解得a≥1，
即实数a的取值范围为[1，+∞）
（ii）若b=﹣1，c=1，
则f（x）=ax²﹣x+1（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线．
若当x∈[0，1]时，|f（x）|的最大值为1，
则或，
解得0＜a＜，或≤a≤1
综上所述：0＜a≤1
即实数a的取值范围为（0，1]
（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有两个小于1的不等正根，
则
由b²＞4ac＞4a（1﹣a﹣b）得：
b²+4ab+4a²=（b+2a）²＞4a，
即b+2a＞2，
即b＞2﹣2a，…①
由b²＞4ac≥4a得：
b＜﹣2…②
由①②得：
2﹣2a＜﹣2，
解得a＞4，
故a的最小正整数值为5．
考点：1.二次函数的图象与性质;2.不等式的性质