题目内容

在△ABC中，
AB
•
AC
=0，|
AB
|=12，|
BC
|=15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交与点D，E为l上异于D的任意一点，
（1）求
AD
•
CB
的值．
（2）判断
AE
•
CB
的值是否为一个常数，并说明理由．
分析：（1）由
AB
•
AC
=0?AB⊥AC，又|
AB
|=12，|
BC
|=15，从而可求得|
AC
|，利用
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
），
CB
=
AB
-
AC
即可求得
AD
•
CB
的值；
（2）由向量的加法运算与向量的乘法分配律可求得
AE
•
CB
=（
AD
+
DE
）•
CB
的值．
解答：解：（1）因为
AB
•
AC
=0，故AB⊥AC，又|
AB
|=12，|
BC
|=15，可知|
AC
|=9．
由已知可得
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
），
CB
=
AB
-
AC
，
∴
AD
•
CB
=
1
2
（
AB
+
AC
）（
AB
-
AC
）
=
1
2
（
AB
2-
AC
2）=
1
2
（141-81）=
63
2
．…（4分）
（2）
AE
•
CB
的值为一个常数．
∵L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
∴
DE
•
CB
=0，
故
AE
•
CB
=（
AD
+
DE
）•
CB
=
AD
•
CB
+
DE
•
CB
=
AD
•
CB
=
63
2
 …（9分）
点评：本题考查平面向量的综合应用，考查向量的加法运算与向量的乘法分配律，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，则（　　）
在△ABC中，AB=4，AC=2，S△ABC=2
3
．
（1）求△ABC外接圆的面积．
（ 2）求cos（2B+
π
3
）的值．
在△ABC中，AB=a，AC=b，当
a
•
b
＜0时，△ABC为
钝角三角形
钝角三角形
．
在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=
7
，则△ABC的面积为
3
3
2
3
3
2
，△ABC的外接圆的面积为
7π
3
7π
3
．
在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，M为AB的中点，
BN
=
1
3
BC
，则
 
．

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