题目内容

（文做理不做）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，p、q、r分别是AB、AD、B₁C₁的中点．那么正方体的过P、Q、R的截面图形是．
（理做文不做）已知空间三个点A（-2，0，2）、B（-1，1，2）和C（-3，0，4），设 $数学公式$ ， $数学公式$ ．当实数k为时k $数学公式$ 与k $数学公式$ 互相垂直．

正六边形 $\text{[math]}$
分析：（文）利用平面的基本性质即可．
（理）利用向量的共线和由数量积判断向量的垂直即可得出．
解答：（文）如图所示：

正方体的过P、Q、R的截面图形是正六边形PMRSNQ．
下面证明：∵P、Q、R、S分别是AB、AD、B₁C₁的中点，
∴PQ∥BD∥B₁D₁∥RS，
∴P、Q、S、R四点共面，
取边BB₁的中点M，连接RM并延长交CB的延长线与K点，连接PK．
则△BKM≌△B₁RM，∴BK=B₁R=BP，
可得Q、P、K三点共线，即M点在平面PQR上，
同理可知N点也在平面PQSR上，
故六点PQNSRM共面．可知其六边长相等．
（理）∵三个点A（-2，0，2）、B（-1，1，2）和C（-3，0，4），
∴ $\text{[math]}$ =（1，1，0）， $\text{[math]}$ =（-1，0，2）．
∴k $\text{[math]}$ =（k-1，k，2），k $\text{[math]}$ =（k+2，k，-4）．
∵（k $\text{[math]}$ ）⊥（k $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ，
即（k-1）（k+2）+k²-8=0，化为2k²+k-10=0，解得k=2或 $\text{[math]}$ ．
故答案为（文）正六边形，（理）k=2或 $\text{[math]}$ ．
点评：熟练掌握平面的基本性质和向量的共线与用数量积判断垂直是解题的关键．