Question

【题目】已知函数，.

（1）若，当时，证明：；

（2）若当时，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由，可得.令，利用导数求出函数的单调性求出函数的最小值为，可得，所以在上单调递增，据此即可证明结果.

（2）.令，，可得.令，，，，所以在上单调递增，

所以，即，对进行分类讨论，根据函数的性质即可求出结果.

（1），，，.

令，.

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

的最小值为，所以，即，

所以在上单调递增，所以，故.

（2）.

令，，

.

令，，，，所以在上单调递增，

所以，即.

①当，即时，，在上单调递增，所以满足条件.

②当，即时，，显然不满足条件.

③当，即时，若，，

令，，，，

故存在，使时，，即在上单调递减，所以，

即，，故不满足条件.

综上，的取值范围是.