已知数列{an}的前n项和为Sn.且满足an+Sn=$\frac{1}{2}$(n2+3n).数列{bn}满足bn=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a} {n}}^{2}}+\frac{1}{{{a} {n+1}}^{2}}}$.数列{bn}的前n项和为Tn.M为正整数．(1)求数列{an}的通项公式an,(2)若数列{bn}的前2015项的和T2015≥M.求M的最大值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=$\frac{1}{2}$（n²+3n），数列{b_n}满足b_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，M为正整数．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}的前2015项的和T₂₀₁₅≥M，求M的最大值．

分析（1）运用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n＞1}\end{array}\right.$，求得a₁=1，a₂=2，构造数列的方法可得a_n-n=$\frac{1}{2}$[a_n-1-（n-1）]，即可得到所求通项；
（2）化简b_n=$\sqrt{\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+（n+1）^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}}$=$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，由裂项相消求和，可得前2015项的和T₂₀₁₅=2016-$\frac{1}{2016}$，即可得到所求值．

解答解：（1）a_n+S_n=$\frac{1}{2}$（n²+3n），①可得a₁+S₁=2a₁=2，
解得a₁=1，又a₂+S₂=$\frac{1}{2}$（2²+6）=5，解得a₂=2，
当n＞1时，a_n-1+S_n-1=$\frac{1}{2}$[（n-1）²+3（n-1）]，②
①-②，可得2a_n-a_n-1=n+1，
变形为a_n-n=$\frac{1}{2}$[a_n-1-（n-1）]，
由于a₁-1=a₂-2=0，则a_n-n=0，
故数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）b_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+（n+1）^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}}$=$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前2015项的和T₂₀₁₅=（1+1-$\frac{1}{2}$）+（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（1+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=2016-$\frac{1}{2016}$，
故不超过T₂₀₁₅的最大整数M为2015．