Question

3．已a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3cosC+$\sqrt{3}$sinC=$\frac{3a}{b}$，AC边上的垂直平分线交边AB于点D．
（I）求∠B的大小：
（Ⅱ）若a=2，且△DBC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求边c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简即可，求∠B的大小；
（Ⅱ）根据a=2，且△DBC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出BD，利用余弦定理求出CD，可得AD，即可求边c的值．

解答 解：（I）∵3cosC+$\sqrt{3}$sinC=$\frac{3a}{b}$，
∴3cosC+$\sqrt{3}$sinC=$\frac{3sinA}{sinB}$，
∴3sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=3sin（B+C），
∴3sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=3sinBcosC+3cosBsinC，
∴$\sqrt{3}$sinB=3cosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵a=2，且△DBC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}•BD•2•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BD=1，
∴CD=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴$AD=\sqrt{3}$，
∴c=AB=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题主要考查余弦定理，三角形面积的计算，根据正弦定理和两角和差的正弦公式是解决本题的关键．