题目内容

有下列四个命题：
①对于?x∈R，函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），则函数f（x）的最小正周期为2；
②所有指数函数的图象都经过点（0，1）；
③若实数a，b满足a+b=1，则
1
a
+
4
b
的最小值为9；
④已知两个非零向量
a
，
b
，则“
a
⊥
b
”是“
a
•
b
=0”的充要条件．
其中真命题的个数为（　　）
分析：①利用函数的周期性和对称性判断．②利用指数函数的性质判断．③利用基本不等式证明．④利用向量垂直的充要条件判断．
解答：解：①满足f（1+x）=f（1-x），则函数关于x=1对称，所以①错误．
②因为a0=1，所以所有指数函数的图象都经过点（0，1），所以②正确．
③
1
a
+
4
b
=(
1
a
+
4
b
)(a+b)=1+4+
b
a
+
4a
b
≥5+2
b
a
?
4a
b
=9，当且仅当
b
a
=
4a
b
，即b=2a=
1
2
时取等号，所以③正确．
④因为两个非零向量
a
，
b
，所以“
a
⊥
b
”是“
a
•
b
=0”的充要条件，所以④正确．
故选C．
点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．
练习册系列答案
相关题目
15、对直线m，n和平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥n，m?α，n?β，则α∥β②若m⊥α，m⊥n，n?β，则α∥β
③若m∥α，m⊥β，则 α⊥β        ④若m∥n，m⊥α，则n⊥α．
其中正确的命题的序号为
③④（写出一个正确结果2分，多选错选不给分）
．
有下列四个命题，其中真命题有（　　）
①{an}为等比数列，则a1+a5≤a2+a4；
②{an}为等差数列，则a1•a5≤a2•a4；
③对任意α，β，都有sin（α+β）sin（α-β）=sin2α-sin2β；
④对任意α，β，都有cos（α+β）≠cosα+cosβ．
（2011•邢台一模）已知有下列四个命题：
①函数f（x）=2x-x2在（-∞，0）是增函数；
②若f（x）在R上恒有f（x+2）•f（x）=1，则4为f（x）的一个周期；
③函数y=2cosx2+sin2x的最小值为
2
+1；
④对任意实数a、b、x、y，都有ax+by≤
a2+b2
•
x2+y2
；
则以上命题正确的是
①②④
①②④
．

设集合A、B，有下列四个命题：

①AB对任意x∈A都有xB;②ABA∩B=;  ③ABBA;④AB存在x∈A,使得xB.其中真命题的序号是        .（把符合要求的命题序号都填上）

 

有下列四个命题：

①设对任意，则使为真命题的一个充分非必要条件是；

②若实数满足且，则；

③正方体-中，过两条棱的平面中与直线成角的平面有4个；

④已知、是△的内角，若，则△为直角三角形.

其中真命题的序号是               .

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