题目内容
6．如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，f′（x2）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，已知函数f（x）=x3-x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）．分析 根据题目给出的定义可得f′（x1）=f′（x2）=$\frac{f（a）-f（0）}{a}$=a2-a，即方程3x2-2x=a2-a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围．
解答 解：由题意可知，∵f（x）=x3-x2+a，f′（x）=3x2-2x
在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），
满足f′（x1）=f′（x2）=$\frac{f（a）-f（0）}{a}$=a2-a，
∵f（x）=x3-x2+a，
∴f′（x）=3x2-2x，
∴方程3x2-2x=a2-a在区间（0，a）有两个不相等的解．令g（x）=3x2-2x-a2+a，（0＜x＜a）
则$\left\{\begin{array}{l}{△=4-12（-{a}^{2}+a）＞0}\\{g（0）=-{a}^{2}+a＞0}\\{g（a）=2{a}^{2}-a＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜1；．
∴实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）
故答案为：（$\frac{1}{2}$，1）．
点评 本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题
练习册系列答案
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| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{3}$ |