Question

已知向量m=（x²，y-cx），n=（1，x+b）（x，y，b，c∈R）且m∥n，把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x）．若f′（x）为f（x）的导函数，F（x）=f（x）+af'（x）（a＞0），且F（x）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求

b

a

和c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间（用字母a表示）；
（Ⅲ）当a=2时，设0＜t＜4且t≠2，曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线与曲线y=f（x）相交于点B（m，f（m））（A与B不重合），直线x=t与y=f（m）相交于点C，△ABC的面积为S，试用t表示△ABC的面积S（t）；并求S（t）的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x³+bx²+cx，∴f'（x）=3x²+2bx+c．…（1分）
∵F（x）=f（x）+af'（x）=x³+（b+3a）x²+（c+2ab）x+ac为奇函数，
由F（-x）=-F（x），可得b+3a=0，ac=0．
∵a＞0，∴b=-3a，c=0．
∴

b

a

=-3，c=0．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x³-3ax²，
∴f'（x）=3x（x-2a）．
令3x（x-2a）≤0，解得0≤x≤2a．
∴函数f（x）的单调递减区间为[0，2a]
（Ⅲ）当a=2时，曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线方程为：
y-f（t）=f'（t）（x-t），
k_AB=f'（t）=3t（t-4）．
联立方程组

y-f(t)=f′(t)(x-t) y=f(x)

化简，得f（x）-f（t）=f'（t）（x-t）．
即x³-6x²-t³+6t²=（3t²-12t）（x-t），（x-t）（x²+xt+t²-6x-6t）=（x-t）（3t²-12t）．
∵A、B不重合，∴x≠t．
∴x²+xt+t²-6x-6t=3t²-12t．
∴x²+（t-6）x-2t²+6t=0．
即（x-t）（x+2t-6）=0．
∵x≠t，∴x=-2t+6．
又另一交点为B（m，f（m）），∴m=-2t+6．…（2分）
S(t)=

1

2

|m-t|•|f(m)-f(t)|=

1

2

(m-t)2•|kAB|=

9

2

(t-2)2•3t(4-t)=

27

2

(t-2)2(4-t)t，t∈(0，2)∪(2，4)．
令h（t）=（t-2）²（4-t）t，其中t∈（0，2）∪（2，4）．
∵h（t）=-（t⁴-8t³+20t²-16t），
∴h'（t）=-4（t³-6t²+10t-4）=-4(t-2)(t-2+

2

)(t-2-

2

)．
由

0＜t＜4且t≠2 h′(t)≥0

解得0＜t≤2-

2

，或2＜t≤

2

．
于是函数h（t）在区间（0，2-

2

]、（2，2+

2

]上是单调增函数；
在区间[2-

2

，2)、[2+

2

，4)上是单调减函数．
当t=2-

2

和t=2+

2

时，函数y=h（t）有极大值．
∴h(t)max=h(2-

2

)=h(2+

2

)=4．
∴S（t）_max=54．…（3分）