Question

2．已知定义在R⁺上的函数f（x）对任意正实数x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）且x＞1时f（x）＞0，求证：f（x）为增函数．

Answer 1

分析 结合函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性．

解答 证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）+f（x₁）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁）
由此得到y=f（x）是R⁺上的增函数．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，利用抽象函数的关系，进行条件转化是解决本题的关键．