Question

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．

解答：解：（1）∵x²-4ax+3a²=0对应的根为a，3a；由于a=1，
则x²-4ax+3a²＜0的解集为（1，3），
故命题p为真，则x∈（1，3）；

x2-x-6≤0 x2+2x+8＞0

⇒x∈（2，3]，
故命题q为真，有x∈（2，3]．
由复合命题真值表得：p∧q为真，则p、q都为真，
∴实数x的取值范围是2＜x＜3；
（2）若^?p是^?q的必要不充分条件，即q是p的充分不必要条件，
∴有（a，3a）?（2，3]，
又a＞0，∴

3a＞3 a≤2

⇒1＜a≤2，
故a的取值范围是1＜a≤2．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，考查了学生分析、解决问题的能力，注意数形结合思想的运用．