Question

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（a＞0）命题q：实数x满足

x2-x-6＜0 x2+2x-8＞0

（1）若a=1，且p∩q为真，求实数x的取值范围
（2）若?p是?q的充分不必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先分别求出命题p、q成立时，x的范围，
（1）p∩q为真，即求两范围的交集；
（2）?p是?q的充分不必要条件，等价于p是q的必要不充分条件，从而有（2，3）⊆（a，3a），由此可得a的取值范围．

解答：解：x²-4ax+3a²=0对应的根为a，3a；
由于a＞0，则x²-4ax+3a²＜0的解集为（a，3a），故命题p成立有x∈（a，3a）；
由x²-x-6＜0得x∈（-2，3），
由x²+2x-8＞0得x∈（-∞，-4）∪（2，+∞），
故命题q成立有x∈（2，3）．
（1）a=1时，命题p成立有x∈（1，3），
∵p∩q为真，∴实数x的取值范围是x∈（2，3）；
（2）∵?p是?q的充分不必要条件，
∴p是q的必要不充分条件，
∴有（2，3）⊆（a，3a），
∵a＞0
∴

a≤2 3≤3a

∴1≤a≤2．

点评：本题考查不等式的解法，考查四种条件，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．