题目内容

在直角坐标系中，O为坐标原点，直线l经过点P（3，
2
）及双曲线
x2
3
-y2=1的右焦点F．
（1）求直线l的方程；
（2）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；
（3）若在（1）、（2）情形下，设直线l与椭圆的另一个交点为Q，且
PM
=λ
PQ
，当|
OM
|最小时，求λ的值．
分析：（1）确定双曲线的右焦点坐标，利用两点式，可求方程；
（2）设出椭圆的标准方程，利用焦点坐标及点P在椭圆上，求出几何量，即可得到椭圆的标准方程；
（3）直线方程，代入椭圆方程，求出Q的坐标，进而可
PQ
，
OM
的坐标，求模长，利用配方法求最值，即可得到结论．
解答：解：（1）由题意双曲线
x2
3
-
y2
1
=1的右焦点为F（2，0）
∵直线l经过点P（3，
2
），F（2，0）
∴根据两点式，得所求直线l的方程为
y-0
2
-0
=
x-2
3-2

即y=
2
（x-2）．
∴直线l的方程是y=
2
（x-2）．
（2）设所求椭圆的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)
∵一个焦点为F（2，0）
∴c=2，即a2-b2=4  ①
∵点P（3，
2
）在椭圆上，
∴
9
a2
+
2
b2
=1 ②
由①②解得a2=12，b2=8
所以所求椭圆的标准方程为
x2
12
+
y2
8
=1；
（3）由题意，直线方程代入椭圆方程可得x2-3x=0
∴x=3或x=0
∴y=
2
或y=-2
2

∴Q（0，-2
2
）      
∴
PQ
=(-3，-3
2
)
∴
PM
=λ
PQ
=(-3λ，-3
2
λ)，
∴
OM
=
OP
+
PM
=(3-3λ，
2
-3
2
λ)
∴|
OM
|=
(3-3λ)2+(
2
-3
2
λ)2
=
27λ2-30λ+11
=
27(λ-
5
9
)2+
8
3

∴当λ=
5
9
时，|
OM
|最小．
点评：本题考查直线与椭圆的方程，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在直角坐标系中，O为坐标原点，已知动圆与直线x=-1相切，且过定点F（1，0），动圆圆心为M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若过点F（1，0）的直线L与曲线C交于A，B两点，又点Q（-1，0），求△（3）QAB面积的最小值．
精英家教网如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB⊥x轴与点C，|
OC
|=4，
CD
=3
DO
，动点M到直线AB的距离是它到点D的距离的2倍．
（I）求点M的轨迹方程
（II）设点K为点M的轨迹与x轴正半轴的交点，直线l交点M的轨迹于E，F两点（E，F与点K不重合），且满足
KE
⊥
KF
．动点P满足2
OP
=
OE
+
OF
，求直线KP的斜率的取值范围．
已知在直角坐标系中（O为坐标原点），
OA
=(2，5)，
OB
=(3，1)，
OC
=(x，3)
（I）若A、B、C可构成三角形，求x的取值范围；
（II）当x=6时，直线OC上存在点M，且
MA
⊥
MB
，求点M的坐标．
在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点P(3，
2
)，且与x轴交于点F（2，0）．
（I）求直线l的方程；（II）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程．
在直角坐标系中，O为坐标原点，设过点P(3，
2
)的直线l，与x轴交于点F（2，0），如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）在（1）中求过点F（2，0）的弦AB的中点M的轨迹方程．

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