题目内容

已知曲线C参数方程为
x=2cosθ
y=sinθ
,θ∈[0,2π)
,极点O与原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.圆T的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ+4=r2,曲线C与圆T交于点M与点N.
(Ⅰ)求曲线C的普通方程与圆T直角坐标方程;
(Ⅱ)求
TM
TN
的最小值,并求此时圆T的方程.
(I)椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1
.圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0)--------(5分)
(II)方法一:点M与点N关于x轴对称,设N(x1,-y1),不妨设y1>0.
由于点M在椭圆C上,所以y12=1-
x12
4
.(*)
由已知T(-2,0),则
TM
=(x1+2,y1)
TN
=(x1+2,-y1)
,∴
TM
TN
=(x1+2,y1)•(x1+2,-y1)=(x1+2)2-y12
=(x1+2)2-(1-
x12
4
)=
5
4
x12+4x1+3
=
5
4
(x1+
8
5
)2-
1
5

由于-2<x1<2,故当x1=-
8
5
时,
TM
TN
取得最小值为-
1
5

由(*)式,y1=
3
5
,故M(-
8
5
3
5
)
,又点M在圆T上,代入圆的方程得到r2=
13
25

故圆T的方程为:(x+2)2+y2=
13
25
.--------(13分)
方法二:点M与点N关于x轴对称,故设M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),
不妨设sinθ>0,由已知T(-2,0),则
TM
TN
=(2cosθ+2,sinθ)•(2cosθ+2,-sinθ)
=(2cosθ+2)2-sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=5(cosθ+
4
5
)2-
1
5

故当cosθ=-
4
5
时,
TM
TN
取得最小值为-
1
5
,此时M(-
8
5
3
5
)

又点M在圆T上,代入圆的方程得到r2=
13
25
.故圆:(x+2)2+y2=
13
25
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