题目内容
已知曲线C参数方程为
,θ∈[0,2π),极点O与原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.圆T的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ+4=r2,曲线C与圆T交于点M与点N.
(Ⅰ)求曲线C的普通方程与圆T直角坐标方程;
(Ⅱ)求
•
的最小值,并求此时圆T的方程.
|
(Ⅰ)求曲线C的普通方程与圆T直角坐标方程;
(Ⅱ)求
TM |
TN |
(I)椭圆C的方程为
+y2=1.圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0)--------(5分)
(II)方法一:点M与点N关于x轴对称,设N(x1,-y1),不妨设y1>0.
由于点M在椭圆C上,所以y12=1-
.(*)
由已知T(-2,0),则
=(x1+2,y1),
=(x1+2,-y1),∴
•
=(x1+2,y1)•(x1+2,-y1)=(x1+2)2-y12=(x1+2)2-(1-
)=
x12+4x1+3=
(x1+
)2-
.
由于-2<x1<2,故当x1=-
时,
•
取得最小值为-
.
由(*)式,y1=
,故M(-
,
),又点M在圆T上,代入圆的方程得到r2=
.
故圆T的方程为:(x+2)2+y2=
.--------(13分)
方法二:点M与点N关于x轴对称,故设M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),
不妨设sinθ>0,由已知T(-2,0),则
•
=(2cosθ+2,sinθ)•(2cosθ+2,-sinθ)=(2cosθ+2)2-sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=5(cosθ+
)2-
.
故当cosθ=-
时,
•
取得最小值为-
,此时M(-
,
),
又点M在圆T上,代入圆的方程得到r2=
.故圆:(x+2)2+y2=
.
x2 |
4 |
(II)方法一:点M与点N关于x轴对称,设N(x1,-y1),不妨设y1>0.
由于点M在椭圆C上,所以y12=1-
x12 |
4 |
由已知T(-2,0),则
TM |
TN |
TM |
TN |
x12 |
4 |
5 |
4 |
5 |
4 |
8 |
5 |
1 |
5 |
由于-2<x1<2,故当x1=-
8 |
5 |
TM |
TN |
1 |
5 |
由(*)式,y1=
3 |
5 |
8 |
5 |
3 |
5 |
13 |
25 |
故圆T的方程为:(x+2)2+y2=
13 |
25 |
方法二:点M与点N关于x轴对称,故设M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),
不妨设sinθ>0,由已知T(-2,0),则
TM |
TN |
4 |
5 |
1 |
5 |
故当cosθ=-
4 |
5 |
TM |
TN |
1 |
5 |
8 |
5 |
3 |
5 |
又点M在圆T上,代入圆的方程得到r2=
13 |
25 |
13 |
25 |

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