题目内容
已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“好集合”.给出下列4个集合:
①M={(x,y)|y=
}
②M={(x,y)|y=ex-2}
③M={(x,y)|y=cosx}
④M={(x,y)|y=lnx}
其中所有“好集合”的序号是( )
①M={(x,y)|y=
1 |
x |
②M={(x,y)|y=ex-2}
③M={(x,y)|y=cosx}
④M={(x,y)|y=lnx}
其中所有“好集合”的序号是( )
分析:对于①,利用渐近线互相垂直,判断其正误即可.
对于②,画出图象,说明满足好集合的定义,即可判断正误;
对于③,画出函数图象,说明满足好集合的定义,即可判断正误;
对于④,画出函数图象,取一个特殊点即能说明不满足好集合定义.
对于②,画出图象,说明满足好集合的定义,即可判断正误;
对于③,画出函数图象,说明满足好集合的定义,即可判断正误;
对于④,画出函数图象,取一个特殊点即能说明不满足好集合定义.
解答:解:对于①y=
是以x,y轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90°,
在同一支上,任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,满足好集合的定义;
对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,
所以不满足好集合的定义,不是好集合.
对于②M={(x,y)|y=ex-2},如图(2)在曲线上两点构成的直角始存在,例如取M(0,-1),N(ln2,0),满足好集合的定义,所以正确.
对于③M={(x,y)|y=cosx},如图(3)对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,
例如(0,1)、(
,0),∠yox=90°,满足好集合的定义,旋转90°,都能在图象上找到满足题意的点,
所以集合M是好集合;
对于④M={(x,y)|y=lnx},如图(4)取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是好集合.
故选B.

1 |
x |
在同一支上,任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,满足好集合的定义;
对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,
所以不满足好集合的定义,不是好集合.
对于②M={(x,y)|y=ex-2},如图(2)在曲线上两点构成的直角始存在,例如取M(0,-1),N(ln2,0),满足好集合的定义,所以正确.
对于③M={(x,y)|y=cosx},如图(3)对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,
例如(0,1)、(
π |
2 |
所以集合M是好集合;
对于④M={(x,y)|y=lnx},如图(4)取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是好集合.
故选B.

点评:本题考查了命题真假的判断与应用,考查了元素与集合的关系,考查了数形结合的思想,解答的关键是对新定义的理解,是中档题.

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