Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△CDF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于A′．

（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲证A′D⊥EF，先证A′D⊥面A′EF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A′D与面A′EF内两相交直线垂直，而A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，满足定理条件；
（2）取EF的中点G，连A′G，DG，根据二面角平面角的定义可知∠A′GD为二面角A′-EF-D的平面角，在Rt△A′GD中求出此角的正切值即可．

解答：解：（1）证明：∵AD⊥AE，DC⊥CF
∴A′D⊥A′E，A′D⊥A′F∴A′D⊥面A′EF，而EF?面A′EF
∴A′D⊥EF
（2）解：取EF的中点G，连A′G，DG，如图
∵AE=CF，
∴A′E=A′F，
∴GA′⊥EF又由（1）知A′D⊥EF，
∴EF⊥面A′GD，EF⊥GD
∴∠A′GD为二面角A′-EF-D的平面角
在△A′EF中，A′E=A′F=1，EF=

2

∴∠EA′F=90°，
∴A′G=

1

2

EF=

2

2

又A′D=AD=2在Rt△A′GD中，
tan∠A′GD=

A′D

A′G

=2

2

即二面角A′-EF-D的正切值为2

2

．

点评：本题主要考查了二面角及其度量，以及空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．