Question

已知椭圆E：及点M（1，1）．
（1）直线l过点M与椭圆E相交于A，B两点，求当点M为弦AB中点时的直线l方程；
（2）直线l过点M与椭圆E相交于A，B两点，求弦AB的中点轨迹；
（3）（文）斜率为2的直线l与椭圆E相交于A，B两点，求弦AB的中点轨迹．
（3）（理）若椭圆E上存在两点A，B关于直线l：y=2x+m对称，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程可得，，利用点差法及点M（1，1）为弦AB中点，即可求得点M为弦AB中点时的直线l方程；
（2）设弦AB的中点为（x，y），则由（1）知，从而可得弦AB的中点轨迹；
（3）（文）设弦AB的中点为（x，y），则由（1）知2=，从而可得弦AB的中点轨迹；
（理）设A，B的中点M为（x，y），利用两点A，B关于直线l：y=2x+m对称，可得：，利用点M必在椭圆内部，可求m的取值范围．
解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程可得，
两式相减可得=
∵点M（1，1）为弦AB中点，∴=-
∴点M为弦AB中点时的直线l方程为y-1=-（x-1），即9y+4x-13=0
（2）设弦AB的中点为（x，y），则由（1）知，即9y²+4x²-9y-4x=0，∴弦AB的中点轨迹为椭圆；
（3）（文）设弦AB的中点为（x，y），则由（1）知2=，即9y+2x=0，∴弦AB的中点轨迹为直线；
（理）设A，B的中点M为（x，y），k_AB==①
又中点M在直线l：y=2x+m上，y=2x+m②
由①②得：
点M必在椭圆内部，所以有
∴
∴m²＜4
解得：-2＜m＜2
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合，考查点差法的运用，考查对称性，解题的关键是正确运用点差法．