Question

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A，B，左右焦点分别为F₁，F₂，点O为坐标原点，线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P，设直线PA，PB，PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，若k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$，则k₃•k₄=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $-\frac{8}{3}$
• C． $-\frac{3}{8}$
• D． -4

Answer 1

分析 设P（m，n），A（-a，0），B（a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），由条件可得m=$\frac{a}{2}$，再由直线的斜率公式，结合k₁•k₂，可得n，代入椭圆方程，可得a=2b，求得c=$\sqrt{3}$b，再由直线的斜率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设P（m，n），A（-a，0），B（a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），
由于线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P，
即有m=$\frac{a}{2}$，
若k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$，则$\frac{n-0}{\frac{a}{2}-（-a）}$•$\frac{n-0}{\frac{a}{2}-a}$=-$\frac{1}{4}$，
解得n=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
即P（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$a），代入椭圆方程可得，
$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{16}$•$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即有a=2b，
则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$b，
则k₃•k₄=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}b}{b-（-\sqrt{3}b）}$•$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}b}{b-\sqrt{3}b}$=$\frac{\frac{3}{4}}{1-3}$=-$\frac{3}{8}$，
故选C．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题．