Question

20．已知函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l₁，l₂，已知两切线的斜率互为倒数，证明：$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{{e^2}-1}}{e}$；
（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；
（2）背景为指数函数y=e^x与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题e^x≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．

解答 （1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$．
①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
②若a＞0，当$x∈（0，\frac{1}{a}）$时，f'（x）＞0；当$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$时，f'（x）＜0．
所以函数f（x）的单调递增区间是$（0，\frac{1}{a}）$，单调递减区间是$（\frac{1}{a}，+∞）$．               （3分）
（2）解：设切线l₂的方程为y=k₂x，切点为（x₂，y₂），则${y_2}={e^{x_2}}$，${k_2}=g'（{x_2}）={e^{x_2}}=\frac{y_2}{x_2}$，
所以x₂=1，y₂=e，则${k_2}={e^{x_2}}=e$．
由题意知，切线l₁的斜率为${k_1}=\frac{1}{k_2}=\frac{1}{e}$，l₁的方程为$y={k_1}x=\frac{1}{e}x$．
设l₁与曲线y=f（x）的切点为（x₁，y₁），则${k_1}=f'（{x_1}）=\frac{1}{x_1}-a=\frac{1}{e}=\frac{y_1}{x_1}$，
所以${y_1}=\frac{x_1}{e}=1-a{x_1}$，$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$．
又因为y₁=lnx₁-a（x₁-1），消去y₁和a后，整理得$ln{x_1}-1+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}=0$．      （6分）
令$m（x）=lnx-1+\frac{1}{x}-\frac{1}{e}=0$，则$m'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
若x₁∈（0，1），因为$m（\frac{1}{e}）=-2+e-\frac{1}{e}＞0$，$m（1）=-\frac{1}{e}＜0$，所以${x_1}∈（\frac{1}{e}，1）$，
而$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$在${x_1}∈（\frac{1}{e}，1）$上单调递减，所以$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$．
若x₁∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x₁=e，
所以$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}=0$（舍去）．
综上可知，$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$．                                               （9分）
（3）证明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）-ax+e^x，$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$．
①当a≤2时，因为e^x≥x+1，所以$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-a≥x+1+\frac{1}{x+1}-a≥2-a≥0$，h（x）在[0，+∞）上递增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意．
②当a＞2时，因为$h''（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{{（x+1）}^2}{e^x}-1}}{{{{（x+1）}^2}}}≥0$，所以h′（x）在[0，+∞）上递增，且h′（0）=2-a＜0，则存在x₀∈（0，+∞），使得h′（0）=0．
所以h（x）在（0，x₀）上递减，在（x₀，+∞）上递增，又h（x₀）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合题意．                                                                  （13分）
综合①②可知，所求实数a的取值范围是（-∞，2]．                           （14分）

点评 本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题．