题目内容
【选修4-1：几何证明选讲】已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．
（1）求证：FA∥BE；
（2）求证：
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
（3）若⊙O的直径AB=2，求tan∠PFA的值．
分析：（1）根据三角形中等边对等角得到∠OAF=∠F，由同弧所对的圆周角相等得到∠B=∠F，从而得出∠OAF=∠B，由此可得FA∥BE．
（2）根据弦切角定理得∠PAC=∠F，从而证出△APC∽△FAC，利用对应边成比例及AB=AC，证出
=
，再根据比例的性质整理可得
=
．
（3）根据切割线定理，结合题中数据可得CP（CP+PF）=AC2=4，由此解出CP=
-1（舍负）．再由FP为⊙O的直径得∠FAP=90°，在Rt△FAP中利用三角函数的定义，结合（2）中的结论即可算出tan∠PFA的值．
（2）根据弦切角定理得∠PAC=∠F，从而证出△APC∽△FAC，利用对应边成比例及AB=AC，证出
| PA |
| FA |
| PC |
| AB |
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
（3）根据切割线定理，结合题中数据可得CP（CP+PF）=AC2=4，由此解出CP=
| 5 |
解答：解：（1）∵在⊙O中，直径AB与FP交于点O，
∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．
又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得
=
∵AB=AC，
∴
=
，变形整理可得
=
．
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，
∴AC2=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±
∵CP＞0，∴CP=
-1．
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°
由（2）中的结论，得
=
，
∴在Rt△FAP中，tan∠F=
=
=
．
∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．
又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得
| PA |
| FA |
| PC |
| AC |
∵AB=AC，
∴
| PA |
| FA |
| PC |
| AB |
| AP |
| PC |
| FA |
| AB |
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，
∴AC2=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±
| 5 |
∵CP＞0，∴CP=
| 5 |
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°
由（2）中的结论，得
| PA |
| FA |
| PC |
| AC |
∴在Rt△FAP中，tan∠F=
| PA |
| FA |
| PC |
| AC |
| ||
| 2 |
点评：本题着重考查了等腰三角形的性质、两条直线平行的判定、切割线定理、相似三角形的判定与性质、直径所对的圆周角和直角三角形中三角函数的定义等知识，属于中档题．
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如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=
AC
AE=
AB，BD，CE相交于点F.
（1）求证：A，E，F，D四点共圆；
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