题目内容

平面直角坐标系xoy中,y轴上有一点A(0,1),在x轴上任取一点P,过点P作P A的垂线l.
(1)若l过点Q(3,2),求点P应取在何处;
(2)直线l能否过点R(3,3),并说明理由;
(3)点P在x轴上移动时,试确定直线l移动的区域(即直线l可以经过的点的集合),并在给定的坐标系中用阴影部分表示出来.
分析:(1)设出点P的坐标,利用P A的垂线l的关系,求出P 的坐标;
(2)直线l能否过点R(3,3),只需验证P A的垂线l是否成立,就是斜率之积等于-1,方程有解就通过;
(3)点P在x轴上移动时,设直线l经过B(x,y),P(a,0),利用方程有解,推出直线l可以经过的点的集合,在坐标系中用阴影部分表示出来,即可.
解答:解:(1)设P(a,0),由题意知AP⊥l,∴
×
=-1,∴a=1,或 a=2,
∴P (1,0) 或P(2,0).
(2)假设直线l能否过点R(3,3),由题意知AP⊥l,∴
•=-1,
a
2-3a+3=0,判别式△=9-12<0,故方程a
2-3a+3=0 无解,故直线l不能过点R(3,3).
(3)可设直线l经过B(x,y),P(a,0),
所以PB的方程为:y=ax-a
2,即:a
2-ax+y=0方程有解,所以x
2-4y≥0,
即:
y≤,就是直线l可以经过的点的集合在抛物线x
2=4y上以及下部部分,如图:

点评:本题是中档题,考查直线过定点的问题,直线的垂直的应用,考查方程思想,绘图能力,计算能力.
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