Question

商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b-a）．这里x被称为乐观系数，经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，某省为规范汽油市场，维护生产者的合法权益和消费者的长远利益，发改委发出通知，决定自9月28日零时起，0号柴油每升限价在[7.40，7.90]内（单位：元）
（1）试求出最佳乐观系数的值以及由此确定的0号柴油的销售价格（价格精确到0.01，参考值

5

≈2.24）；
（2）某加油站老板做了一个市场调查后发现：若按最高销售限价出售则9月28号当天销售1500升，以后每天销售量将比前一天减少100升；若根据“乐观系数准则”确定柴油销售价格，每天的销售量稳定在1500升左右，若0号柴油的成本为每升7.01元，自9月28日起未来10天内加油站采用哪种销售价格出售将获利更多？

Answer 1

分析：（1）根据题设条件，由（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，知[x（b-a）]²=（b-a）²-x（b-a）²，由此能求出最佳乐观系数x的值，从而可以求得0号柴油的销售价格；
（2）根据获利=销售收入-成本，分别按两种销售价格和销售量求解利润，比较即可得到答案．

解答：解：（1）∵c=a+x（b-a），即-c=-a-x（b-a），
∴b-c=（b-a）-x（b-a），①
∵（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，即（b-c）（b-a）=（c-a）²，
将①两边同乘以（b-a），可得（b-c）（b-a）=（b-a）²-x（b-a）²，即（c-a）²=（b-a）²-x（b-a）²，②
根据c=a+x（b-a），可得c-a=x（b-a），则（c-a）²=[x（b-a）]²，③
由②③可得，[x（b-a）]²=（b-a）；-x（b-a）²，
∵b＞a，则b-a＞0，
∴x²+x-1=0，解得x=

-1± 5

2

，
∵0＜x＜1，
∴x=

-1+ 5

2

∴最佳乐观系数x的值为

-1+ 5

2

；
根据0号柴油每升限价在[7.40，7.90]内，则a=7.40，b=7.90，
∴0号柴油的销售价格为c=a+x（b-a）=7.40+

-1+ 5

2

×（7.90-7.40）≈7.71元；
（2）按第一种方案销售，则自9月28日起未来10天内销售量为1500+1400+…+600=10500升，销售价格为最高销售限价7.90元，0号柴油的成本为每升7.01元，
则获利y₁=（7.90-7.01）×10500=9345元；
按第二种方案销售，则自9月28日起未来10天内销售量为1500×10=15000升，根据“乐观系数准则”确定柴油销售价格为7.71元，0号柴油的成本为每升7.01元，
则获利y₂=（7.71-7.01）×15000=10500元．
∵10500＞9345，
∴自9月28日起未来10天内加油站采用第二种销售价格出售将获利更多，即按“乐观系数准则”确定柴油销售价格7.71元出售将获利更多．

点评：本题考查了函数在实际生产生活中的应用，解题的关键是正确的审题理解题意建立合适的数学模型，然后根据相关的数学知识解题．本题还考查了等比中项，等差数列求和的概念．属于难题．