Question

定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k），则称函数f（x）为“k性质函数”．
（1）若函数f（x）=2^x为“1性质函数”，求x₀；
（2）判断函数是否为“k性质函数”？说明理由；
（3）若函数为“2性质函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

（本题满分（16分），第（1）小题（4分），第2小题（6分），第3小题6分）
解：（1）由f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得，…（2分）
∴，∴x₀=1． …（4分）
（2）若存在x₀满足条件，
则即，…（7分）
∵△=k²-4k²=-3k²＜0，∴方程无实数根，与假设矛盾．
∴不能为“k性质函数”． …（10分）
（3）由条件得：，…（11分）
即（a＞0），
化简得，…．（13分）
当a=5时，x₀=-1； …（14分）
当a≠5时，由△≥0，
16a²-20（a-5）（a-1）≥0即a²-30a+25≤0，
∴．
综上， …（16分）
分析：做题时要紧扣新概念“k性质函数”（满足f（x₀+k）=f（x₀）+f（k））．
（1）由于函数f（x）=2^x为“1性质函数”，则f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），代入函数解析式可得x₀的值；
（2）开放性命题，假设函数是为“k性质函数”．则满足f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）得到关于x₀的二次方程，若方程有解，则函数f（x）=是为“k性质函数”，若方程无解，则函数不是为“k性质函数”；
（3）由于函数为“2性质函数”，则f（x₀+2）=f（x₀）+f（2），代入解析式得到关于x₀的二次方程，a为方程的参数，由于方程一定有解，得到关于a的不等式解出即可．
点评：此题是个难题，考查创新概念及其应用，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，综合性强．解决本题的灵魂在于“转化”，很多问题在实施“化难为易”、“化生为熟”中得以解决．求满足条件的参数的取值范围的题目是高考常考必考的．