Question

我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)+f(x2)

2

=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：

是

．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：

2

．
（2）请先学习下面的证明方法：
证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，

3

2

是其“和谐数”．
证明过程如下：对任意x₁∈[10，100]，令

g(x1)+g(x2)

2

=

3

2

，即

lgx1+lgx2

2

=

3

2

，
得x2=

1000

x1

．∵x₁∈[10，100]，∴x2=

1000

x1

∈[10，100]．即对任意x₁∈[10，100]，存在唯一的x2=

1000

x1

∈[10，100]，使得

g(x)+g(x2)

2

=

3

2

．∴g（x）=lgx为“和谐函数”，

3

2

是其“和谐数”．
参照上述证明过程证明：函数h（x）=2^x，x∈（1，3）为“和谐函数”；
（3）写出一个不是“和谐函数”的函数，并作出证明．

Answer 1

分析：（1）根据题目対“和谐函数”的定义，对任意x₁∈[-1，3]，令

f(x1)+f(x2)

2

=2，得x₂=2-x₁，而x₂∈[-1，3]，即对任意的x₁∈[-1，3]，存在唯一的x₂=2-x₁∈[-1，3]，使得

f(x1)+f(x2)

2

=2，即可得正确结果
（2）参照上述证明过程，对任意x₁∈（1，3），令

2x1+2x2

2

=5，得 2x2=10-2x1，x2=log2(10-2x1)∈（1，3），即可证明函数h（x）=2^x，x∈（1，3）为“和谐函数”
（3）分c＜0和c≥0两种情况讨论，对任意的x₁∈R，不存在唯一的x₂∈R，使

x12+x22

2

=C成立，所以函数u（x）=x²，x∈R不是“和谐函数”

解答：解：（1）∵对任意x₁∈[-1，3]，令

f(x1)+f(x2)

2

=2，得x₂=2-x₁，∴x₂∈[-1，3]，即对任意的x₁∈[-1，3]，存在唯一的x₂=2-x₁∈[-1，3]，使得

f(x1)+f(x2)

2

=2，
故正确答案为  是；  2
（2）由定义可知：函数h（x）=2^x，x∈（1，3）的“和谐数”为5．
对任意x₁∈（1，3），令

h(x1)+h(x2)

2

=5，即

2x1+2x2

2

=5，得2x2=10-2x1，x2=log2(10-2x1)．
∵x₁∈（1，3），∴10-2x1∈(2，8)，x2=log2(10-2x1)∈(1，3)．
即对任意x₁∈（1，3），存在唯一的x2=log2(10-2x1)∈(1，3)，使得

h(x1)+h(x2)

2

=5．
∴h（x）=2^x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”．（10分）
（3）函数u（x）=x²，x∈R不是“和谐函数”，
证明如下：对任意的常数C，
①若C≤0，则对于x₁=1，显然不存在x₂∈R，使得

x12+x22

2

=

1+x22

2

=C成立，
所以C（C≤0）不是函数u（x）=x²，x∈R的和谐数；
②若C＞0，则对于x1=

4C

，由

x12+x22

2

=

4C+x22

2

=C得，x₂²=-2C＜0，
即不存在x₂∈R，使

x12+x22

2

=C成立．
所以C（C＞0）也不是函数u（x）=x²，x∈R的和谐数．
综上所述，函数u（x）=x²，x∈R不是“和谐函数”．（18分）

点评：题是新定义型函数应用题，综合考查了阅读理解能力，及函数定义域值域的求法等，难度较大，需要扎实的函数基本功，和逻辑基本功