Question

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c、，S是该三角形的面积，且4sinB•sin2(

π

4

+

B

2

)+cos(2A+2C)=1+

3

．
（I）求角B．
（II）若a=4，S=5

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式对题设中等式化简整理求得sinB的值，进而求得B．
（II）先利用三角形面积公式求得c，进而利用余弦定理求得b．

解答：解：（I）∵4sinB•sin2(

π

4

+

B

2

)+cos(2A+2C)=1+

3

．
∴4sinB

1-cos( π 2 +B)

2

+2cos²（A+C）=2sinB（1+sinB）+2cos²B-1=2sinB+1=1+

3

∴sinB=

3

2

∵B为锐角
∴B=60°
（II）∵S=

1

2

acsinB=2c×

3

2

=5

3

∴c=5
∴b=

a2+c2-2accosB

=

16+25-2×4×5× 1 2

=

21

点评：本题主要考查了余弦定理的应用和二倍角的化简求值．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．