Question

已知函数f(x)=lg

2-x

2+x

．
（I）求f（x）的定义域，并判断其单调性；
（II）解关于x的不等式f[x（x-1）]＜0．

Answer 1

分析：（I）令对数函数的真数大于0，解分式不等式求出x的范围写出区间形式即为定义域；将真数分离常数，利用反比例函数的单调性结合复合函数的单调性：同增异减判断出函数的单调性．
（II）由（I）判断f（x）是在（-1，1）的减函数，再将不等式转化为具体不等式，即可求得结论．

解答：解：（I）由题意得 

2-x

2+x

＞0解得-2＜x＜2，
∴函数f（x）的定义域为{x|-2＜x＜2}
∵令t=

2-x

2+x

=

4

2+x

-1在（-1，1）递减
∵y=lgt在定义域上为增函数
∴f(x)=lg

2-x

2+x

在（-1，1）递减；
（II）由（I）知f(x)=lg

2-x

2+x

在（-1，1）递减，且f（0）=0，
∴原不等式可化为：x（x-1）＞0，
解不等式组

x(x-1)＞0 -2＜x(x-1)＜2

得-1＜x＜0或1＜x＜2，
∴原不等式的解集为{x|-1＜x＜0或1＜x＜2}．

点评：解决判断函数的奇偶性，应该先求出函数的定义域，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；判断复合函数的单调性利用其法则：同增异减进行判断．