Question

设A、B两点的坐标分别是（1，0）、（-1，0），若k_MA·k_MB=-1，求动点M的轨迹方程.

Answer 1

解：设M的坐标为(x,y),M属于集合P=｛Ｍ｜k_MA·k_MB＝－１｝.由斜率公式,点M所适合的条件可表示为(x≠±1),整理，得x²+y²=1(x≠±1).

下面证明x²+y²=1(x≠±1)是点M的轨迹方程.

(1)由求方程的过程，可知M的坐标都是方程x²+y²=1(x≠±1)的解;

(2)设点M₁的坐标(x₁,y₁)是方程x²+y²=1(x≠±1)的解,

即x₁²+y₁²=1(x₁≠±1),y₁²=1-x₁²(x₁≠±1),

∴k_M1A·k_M1B＝－１.

由上述证明，可知方程x²+y²=1(x≠±1)是点M的轨迹方程.

绿色通道：求曲线方程时，如果没有坐标系，首先应建立适当的坐标系.建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较“简单”，所求方程的形式较“整齐”.

黑色陷阱：

本例所求的方程中，容易漏掉条件x≠±1.