Question

定义：对于任意n∈N^*，满足条件

an+an+2

2

≤an+1且a_n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列a_n称为T数列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），证明：数列a_n是T数列；
（2）设数列b_n的通项为bn=50n-(

3

2

)n，且数列b_n是T数列，求常数M的取值范围；
（3）设数列cn=|

p

n

-1|（n∈N^*，p＞1），问数列b_n是否是T数列？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2，所以数列a_n满足

an+an+2

2

≤an+1．由此能够证明数列a_n是T数列．
（2）因为bn+1-bn=50(n+1)-(

3

2

)n+1-50n+(

3

2

)n=50-

1

2

(

3

2

)n，所以当50-

1

2

(

3

2

)n≥0即n≤11时，b_n+1-b_n＞0，此时数列b_n单调递增．当n≥12时，b_n+1-b_n＜0，此时数列b_n单调递减；故数列b_n的最大项是b₁₂，由此能求出M的取值范围．
（3）当1＜p≤2时，对于n∈N^*有cn=|

p

n

-1| ＜1，所以当1＜p≤

6

5

时数列c_n是T数列；当2＜p≤3时，数列c_n不是T数列．当p＞3时，数列c_n不是T数列．

解答：解：（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2
所以数列a_n满足

an+an+2

2

≤an+1．（2分）
又an=-(n-

9

2

)2+

81

4

，当n=4或5时，a_n取得最大值20，即a_n≤20．
综上，数列a_n是T数列．（4分）
（2）因为bn+1-bn=50(n+1)-(

3

2

)n+1-50n+(

3

2

)n=50-

1

2

(

3

2

)n，
所以当50-

1

2

(

3

2

)n≥0即n≤11时，b_n+1-b_n＞0，此时数列b_n单调递增（6分）
当n≥12时，b_n+1-b_n＜0，此时数列b_n单调递减；故数列b_n的最大项是b₁₂，
所以，M的取值范围是M≥600-(

3

2

)12（9分）
（3）①当1＜p≤2时，当n=1时c1=p-1，c2=1-

p

2

，c3=1-

p

3

，
由c1+c3-2c2=

5p

3

-2≤0得p≤

6

5

，
即当1＜p≤

6

5

时符合

cn+cn+2

2

≤cn+1条件．（11分）
若n≥2，则

p

n

≤1，此时cn=1-

p

n

于是cn+cn+2-2cn+1=(1-

p

n

)+(1-

p

n+2

)-2(1-

p

n+1

)=

-2p

n(n+1)(n+2)

＜0
又对于n∈N^*有cn=|

p

n

-1| ＜1，
所以当1＜p≤

6

5

时数列c_n是T数列；（13分）
②当2＜p≤3时，
取n=1则：c1=p-1，c2=

p

2

-1，c3=1-

p

3

，
由c1+c3-2c2=2-

p

3

＞0，所以2＜p≤3时数列c_n不是T数列．（15分）
③当p＞3时，
取n=1则c1=p-1，c2=

p

2

-1，c3=

p

3

-1，
由c1+c3-2c2=

5p

6

＞0，所以p＞3时数列c_n不是T数列．（17分）
综上：当1＜p≤

6

5

时数列c_n是T数列；当p＞

6

5

时数列c_n不是T数列．（18分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．