题目内容

已知k∈R，函数f（x）=a^x+k•b^x（a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1）
（1）已知函数 $数学公式$ 在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．若 $数学公式$ ，求函数f（x）的单调区间．
（2）若实数a，b满足ab=1．求k的值，使得函数f（x）具有奇偶性．（写出完整解题过程）

解：（1）当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ …（1分）
令t=2^x（t＞0），则原函数变为 $\text{[math]}$
由条件知，当t∈（0，1]时，y单调递减．此时x∈（-∞，0]，且t=2^x在（-∞，0]上单调递增．
所以有函数 $\text{[math]}$ 在（-∞，0]上单调递减．…（3分）
当t∈[1，+∞）时，y单调递增．此时x∈[0，+∞），且t=2^x在[0，+∞）上单调递增．
所以有函数 $\text{[math]}$ 在（-∞，0]上单调递增．…（3分）
综上， $\text{[math]}$ 在（-∞，0]上单调递减，在（-∞，0]上单调递增． …（1分）
（2）由题意，ab=1，所以有 $\text{[math]}$
①若f（x）为奇函数，则有f（-x）=-f（x），即a^-x+kb^-x=-（a^x+kb^x），
即 $\text{[math]}$ ，得b^x+ka^x=-（a^x+kb^x），
整理得（1+k）（b^x+a^x）=0，所以有1+k=0，得k=-1…（3分）
②若f（x）为偶函数，则有f（-x）=f（x），即a^-x+kb^-x=a^x+kb^x，
即 $\text{[math]}$ ，得b^x+ka^x=a^x+kb^x，所以得k=1…（3分）
综上有，k=-1时，f（x）为奇函数，k=1时，f（x）为偶函数．…（1分）
分析：（1）将a，b的值代入，得到 $\text{[math]}$ ，换元，令t=2^x，根据 $\text{[math]}$ 的单调区间判断函数的单调区间．
（2）根据奇函数偶函数的概念，代入f（x），化简整理，求得k的值．
点评：本题考查了复合函数的单调性以及函数的奇偶性，中间用到了换元法，是中档题．