题目内容

(Ⅰ)证明:AB⊥PC
(Ⅱ)若三角形ABC是边长为2
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分析:(I)利用△PAB是等边三角形,证明AC=BC.取AB中点D,连接PD、CD,通过证明AB⊥平面PDC,然后证明AB⊥PC.
(II)(1)作BE⊥PC,垂足为E,连接AE,利用证得∠AEB=90°,结合平面垂直的定义即可得到面PAC⊥面PBC;(2)通过Rt△PBC≌Rt△PAC,Rt△AEB≌Rt△PEB,说明△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形.然后求出三棱锥P-ABC的体积.
(II)(1)作BE⊥PC,垂足为E,连接AE,利用证得∠AEB=90°,结合平面垂直的定义即可得到面PAC⊥面PBC;(2)通过Rt△PBC≌Rt△PAC,Rt△AEB≌Rt△PEB,说明△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形.然后求出三棱锥P-ABC的体积.
解答:
解:(I)证明:因为△PAB是等边三角形,
∠PAC=∠PBC=90°,
PC=PC
所以Rt△PBC≌Rt△PAC,
可得AC=BC.
如图,取AB中点D,连接
PD、CD,
则PD⊥AB,CD⊥AB,
所以AB⊥平面PDC,
所以AB⊥PC.
(II)(1)作BE⊥PC,垂足为E,连接AE.
因为Rt△PBC≌Rt△PAC,
所以AE⊥PC,AE=BE.
在三角形ABE中,由已知,得BE=AE=2,AB=2
,
故∠AEB=90°.
从而,平面PAC⊥平面PBC,
(2)因为Rt△AEB≌Rt△PEB,
所以△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形.
由已知得PC=4,AE=BE=2,
△AEB的面积S=2.
因为PC⊥平面AEB,
所以三棱锥P-ABC的体积:
V=
×S×PC=
.

∠PAC=∠PBC=90°,
PC=PC
所以Rt△PBC≌Rt△PAC,
可得AC=BC.
如图,取AB中点D,连接
PD、CD,
则PD⊥AB,CD⊥AB,
所以AB⊥平面PDC,
所以AB⊥PC.
(II)(1)作BE⊥PC,垂足为E,连接AE.
因为Rt△PBC≌Rt△PAC,
所以AE⊥PC,AE=BE.
在三角形ABE中,由已知,得BE=AE=2,AB=2
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故∠AEB=90°.
从而,平面PAC⊥平面PBC,
(2)因为Rt△AEB≌Rt△PEB,
所以△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形.
由已知得PC=4,AE=BE=2,
△AEB的面积S=2.
因为PC⊥平面AEB,
所以三棱锥P-ABC的体积:
V=
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点评:本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.是中档题.

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